Proposisi Aljabar
Daftar isi
1. Aljabar Boolean (Pendahuluan)
2. Konjungsi (A ^ B)
3. Disjungsi (A _ B)
4. Aturan Aljabar Boolean
5. Kuis pada aljabar Boolean
Solusi untuk Latihan
Solusi untuk Kuis
Lengkap paket ini dan beberapa petunjuk,
mereka harus diperlukan, dapat diperoleh dari web kami
Matematika halaman Dukungan Material.
Bagian 1: Aljabar Boolean (Pendahuluan) 3
1. Aljabar Boolean (Pendahuluan)
Aljabar Boolean adalah aljabar proposisi. Proposisi akan
dilambangkan dengan huruf besar huruf Romawi, seperti A atau B, dll Setiap
proposisi memiliki dua kemungkinan nilai: T ketika proposisi adalah benar
dan F saat proposisi adalah palsu.
Negasi dari A ditulis sebagai ¬ A dan
dibaca sebagai “Nota”. Jika A adalah benar maka ¬ A adalah
palsu. Sebaliknya, jika A adalah palsu maka ¬ A adalah
benar. Hubungan ini ditampilkan dalam
berdekatan tabel kebenaran.
Sebuah ¬ A
T F
F T
Baris kedua dari tabel menunjukkan bahwa jika A adalah benar maka ¬ A adalah palsu.
Baris ketiga menunjukkan bahwa jika A adalah palsu maka ¬ A adalah benar. kebenaran tabel
akan digunakan di seluruh paket ini untuk memverifikasi bahwa dua proposisi
secara logis setara. Dua proposisi dikatakan logis
setara jika tabel kebenaran mereka memiliki nilai yang sama persis.
Bagian 1: Aljabar Boolean (Pendahuluan) 4
contoh 1
Tunjukkan bahwa proposisi A dan ¬ (¬ A) secara logis setara.
solusi
Dari definisi ¬ Maka, bila
¬ A adalah benar maka ¬ (¬ A) adalah palsu, sementara jika
¬ A adalah palsu maka ¬ (¬ A) adalah benar. Hal ini
dirumuskan dalam tabel kebenaran yang berdekatan.
Sebuah ¬ ¬ A (¬ A)
T F T
F T F
Dari tabel dapat dilihat bahwa ketika A mengambil nilai yang benar, yang
proposisi ¬ (¬ A) juga mengambil nilai yang benar, dan ketika A mengambil
nilai palsu, proposisi ¬ (¬ A) juga mengambil nilai yang palsu. ini
menunjukkan bahwa A dan ¬ (¬ A) secara logis setara, karena mereka logis
nilai-nilai yang identik.
Ekuivalensi logis juga dapat ditulis sebagai persamaan yang, dalam hal ini
kasus, yang
A = ¬ (¬ A).
Bagian 2: Konjungsi (A ^ B) 5
2. Konjungsi (A ^ B)
Jika A dan B adalah dua proposisi maka “bersama” dari A dan B,
ditulis sebagai A ^ B, dan dibaca sebagai “A dan B”, adalah proposisi yang
true jika dan hanya jika kedua A dan B adalah benar. Tabel kebenaran untuk
ini ditampilkan.
Ada dua nilai yang mungkin untuk
masing-masing proposisi A, B, sehingga
ada 2 × 2 = 4 tugas yang mungkin
nilai-nilai. Hal ini terlihat dalam
tabel kebenaran. Setiap kali tabel kebenaran
yang digunakan, adalah penting bahwa setiap
nilai yang mungkin disertakan.
A B A ^ B
T T T
T F F
F T F
F F F
Tabel kebenaran untuk A ^ B
Contoh 2 Tuliskan tabel kebenaran untuk proposisi (A ^ B) ^ C.
Solusi kebenaran Tabel sekarang akan berisi 2 × 2 × 2 = 8 baris, sesuai
dengan jumlah nilai yang mungkin berbeda dari tiga
proposisi. Hal ini ditunjukkan pada halaman berikutnya.
Bagian 2: Konjungsi (A ^ B) 6
Dalam tabel yang berdekatan,
pertama tiga kolom berisi
semua kemungkinan nilai untuk
A, B dan C. Nilai
dalam kolom untuk A ^ B
tergantung hanya pada yang pertama
dua kolom. nilai-nilai
(A ^ B) ^ C bergantung
pada nilai-nilai dalam
ketiga dan kolom keempat.
A B C A ^ B (A ^ B) ^ C
T T T T T
T T F T F
T F T F F
T F F F F
F T T F F
F T F F F
F F T F F
F F F F F
Tabel kebenaran untuk (A ^ B) ^ C
Latihan 1. (Klik pada huruf hijau untuk solusi.)
(a) Tuliskan tabel kebenaran untuk A ^ (B ^ C).
(b) Gunakan contoh 2 dan bagian (a) untuk membuktikan bahwa
(A ^ B) ^ C = A ^ (B ^ C).
Bagian 3: disjungsi (A _ B) 7
3. Disjungsi (A _ B)
Jika A dan B adalah dua proposisi maka “disjungsi” dari A dan B,
ditulis sebagai A _ B, dan dibaca sebagai “A atau B”, adalah proposisi yang
true jika salah satu A atau B, atau keduanya, adalah benar. Tabel kebenaran untuk ini adalah
ditampilkan.
Seperti sebelumnya, ada dua kemungkinan
nilai untuk masing-masing proposisi
A dan B, sehingga jumlah
tugas yang mungkin dari nilai
adalah 2 × 2 = 4. Hal ini terlihat dalam
tabel kebenaran.
A B A B _
T T T
T F T
F T T
F F F
Tabel kebenaran untuk A _ B
Contoh 3 Tuliskan tabel kebenaran untuk proposisi (A_B) _C.
Solusi Kebenaran tabel akan berisi 2 × 2 × 2 = 8 baris, sesuai
dengan jumlah nilai yang mungkin berbeda dari tiga proposisi.
Hal ini ditunjukkan pada halaman berikutnya.
Bagian 3: disjungsi (A _ B) 8
Dalam tabel yang berdekatan,
pertama tiga kolom berisi
semua kemungkinan nilai untuk
A, B dan C. Nilai
di kolom B untuk A _
tergantung hanya pada yang pertama
dua kolom. nilai-nilai
(A _ B) _C tergantung
pada nilai-nilai dalam
ketiga dan kolom keempat.
A B C A B _ (A _ B) _ C
T T T T T
T T F T T
F T T T T
T F F T T
F T T T T
F T F T T
F F T F T
F F F F F
Tabel kebenaran untuk (A _ B) _ C
Latihan 2. (Klik pada huruf hijau untuk solusi.)
(a) Tuliskan tabel kebenaran untuk A _ (_ B C).
(b) Gunakan contoh 3 dan bagian (a) untuk menunjukkan bahwa
(A _ B) C = A _ _ (_ B C).
Bagian 3: disjungsi (A _ B) 9
Latihan 3.Write keluar tabel kebenaran untuk proposisi berikut.
(Klik pada huruf hijau untuk solusi.)
(a) ¬ (A ^ B), (b) (¬ A) ^ B, (c) (¬ A) ^ (¬ B), (d) (¬ A) _ (¬ B),
Kuis Menggunakan hasil latihan 3, mana dari berikut ini benar?
(a) (¬ A) ^ B = (¬ A) _ (¬ B), (b) ¬ (A ^ B) = (¬ A) _ (¬ B),
(c) ¬ (A ^ B) = (¬ A) ^ (¬ B), (d) (¬ A) ^ B = (¬ A) ^ (¬ B).
Latihan 4.Write keluar tabel kebenaran untuk proposisi berikut.
(Klik pada huruf hijau untuk solusi.)
(a) ^ (B _ C), (b) (A ^ B) _ C, (c) (A ^ B) _ (A * C).
Kuis Menggunakan hasil latihan 4, mana dari berikut ini benar?
(a) ^ (B _ C) = (A ^ B) _ C, (b) ^ (B_C) = (A ^ B) _ (A ^ C),
(c) (A ^ B) _C = (A ^ B) _ (A ^ C), (d) Tidak satu pun dari ini.
Tiga operasi yang berbeda ¬, ^, dan _, (“tidak”, “dan” dan “atau”),
membentuk struktur aljabar aljabar Boolean. Yang masih menjadi
ditentukan adalah seperangkat aturan yang mengatur interaksi mereka.
Bagian 4: Aljabar Boolean Aturan 10
4. Aturan Aljabar Boolean
(1a) A ^ B = B ^ A
(1b) A _ _ B = B A
(2a) A ^ (B ^ C) = (A ^ B) ^ C
(2b) A _ (_ B C) = (A _ B) _ C
(3a) A ^ (B _ C) = (A ^ B) _ (A ^ C)
(3b) A _ (B ^ C) = (A _ B) ^ (A _ C)
(4a) A ^ A = A
(4b) A _ A = A
(5a) A ^ (A _ B) = A
(5b) A _ (A ^ B) = A
(6a) A ^ A = F ¬
(6b) A _ ¬ A = T
(7) ¬ (¬ A) = A
(8a) ¬ (A ^ B) = (¬ A) _ (¬ B)
(8a) ¬ (A _ B) = (¬ A) ^ (¬ B)
Bagian 4: Aljabar Boolean Aturan 11
Komentar-komentar berikut pada aturan ini berguna:
Semua aturan dapat diverifikasi dengan menggunakan tabel kebenaran.
Setiap aturan berlabel (a) dapat diperoleh dari aturan yang sesuai
berlabel (b) dengan mengganti _ ^ dengan dan _ ^ dengan, dan sebaliknya.
Aturan (1a) dan (1b) dengan mudah dapat ditunjukkan untuk menjadi kenyataan.
Aturan (2a) dan (2b) terbukti dalam latihan 1 dan 2 masing-masing.
Aturan (3a) terbukti dalam latihan 3 dan kuis segera setelah.
Aturan (3a) dan (3b) disebut aturan distributif.
Aturan (8a) terbukti dalam latihan 4 dan kuis segera setelah.
Aturan (8a) dan (8b) disebut hukum De Morgan.
Aturan (2a) berarti bahwa A ^ B ^ C memiliki arti yang sama diberikan oleh
A ^ (B ^ C) atau (A ^ B) ^ C. Demikian pula untuk A _ _ B C dari (2b).
Bagian 4: Aljabar Boolean Aturan 12
Latihan 5. Gunakan tabel kebenaran untuk membuktikan proposisi berikut.
(Klik pada huruf hijau untuk solusi.)
(a) A_ (B ^ C) = (A_B) ^ (A_C), (b) ^ (A _ B) = A,
(c) ¬ (A _ B) = ¬ (A) ^ ¬ (B), (d) F _ X = X,
(e) [A ^ ((¬ A) _ B)] _ B = B.
Tabel kebenaran berguna untuk membuktikan bahwa dua ekspresi yang setara
tapi, sering, hasil yang sama lebih mudah untuk mendapatkan menggunakan aljabar Boolean.
Contoh 4 Sederhanakan ekspresi [A ^ (¬ A _ B)] _ B.
solusi
Menggunakan (3a),
A ^ (¬ A _ B) = (A ^ ¬ A) _ (A ^ B) = F _ (A ^ B), dengan (6a),
= A ^ B, oleh mantan 5 (d).
Jadi [A ^ (¬ A _ B)] _ B = (A ^ B) _ B = B, dengan (5b),
mengkonfirmasikan hasil dari latihan 5 (e), di atas.
Bagian 5: Kuis pada Aljabar Boolean 13
5. Kuis pada aljabar Boolean
Mulailah Kuis Dalam setiap berikut, pilih versi yang disederhanakan
ekspresi yang diberikan. (Gunakan tabel kebenaran baik, atau aljabar Boolean untuk
menyederhanakan ekspresi.)
1. (A ^ ¬ C) _ (A ^ B ^ C) _ (A ^ C).
(a) T, (b) F, (c) A ^ B, (d) A.
2. [A ^ B] _ [A ^ ¬ B] _ [(¬ A) ^ B] _ [(¬ A) ^ (¬ B)].
(a) A ^ B, (b) _ B, (c) T, (d) F.
3. (A ^ B ^ C) _ (¬ A) _ (¬ B) _ (¬ C).
(a) T, (b) F, (c) A ^ B, (d) ^ C.
Kuis akhir
Solusi untuk Latihan 14
Solusi untuk Latihan
Latihan 1 (a)
Tabel kebenaran untuk A ^ (B ^ C) adalah dibangun sebagai berikut:
Dalam tiga kolom pertama,
menulis semua nilai yang mungkin
untuk proposisi A, B
dan C, dan menggunakan ini untuk
menghitung nilai dalam
keempat kolom. final
kolom ditemukan dengan mengambil
â € œconjunctionâ € dari
kolom pertama dan keempat.
A B C B ^ C A ^ (B ^ C)
T T T T T
T T F F F
T F T F F
T F F F F
F T T T F
F T F F F
F F T F F
F F F F F
Solusi untuk Latihan 15
Latihan 1 (b)
Ekuivalensi logis dari proposisi (A ^ B) ^ C dan A ^ (B ^ C)
dapat dilihat dengan membandingkan tabel kebenaran mereka. Yang pertama diberikan dalam
contoh 2 dan yang terakhir dalam latihan 1 (a). Tabel ini kebenaran
identik, sehingga
(A ^ B) ^ C = A ^ (B ^ C).
Solusi untuk Latihan 16
Latihan 2 (a)
Tabel kebenaran untuk A _ (B _ C) adalah ditunjukkan di bawah ini:
Tiga kolom pertama
berisi semua nilai yang mungkin
untuk proposisi A, B
dan C. Kolom keempat
mewakili â € œdisjunctionâ €
(B _ C) dan
kolom terakhir menunjukkan
â € œdisjunctionâ € elemen
dari pertama dan keempat
kolom.
A B C (B _ C) A _ (_ B C)
T T T T T
T T F T T
F T T T T
T F F F T
F T T T T
F T F T T
F F T T T
F F F F F
Solusi untuk Latihan 17
Latihan 2 (b)
Untuk membuktikan kesetaraan logis
(A _ B) C = A _ _ (_ B C)
membandingkan tabel kebenaran untuk proposisi kedua. mantan
diberikan dalam contoh 3 dan yang terakhir dalam latihan 2 (a). kebenaran ini
tabel adalah identik dan karenanya (A _ B) C = A _ _ (_ B C).
Solusi untuk Latihan 18
Latihan 3 (a)
Tabel kebenaran untuk proposisi ¬ Â (A ^ B) diberikan di bawah ini.
Tabel kebenaran yang berdekatan
mengandung 2a-2 = 4 baris yang sesuai
untuk semua kemungkinan
nilai untuk proposisi
A dan B.
A B A ^ B Â ¬ (A ^ B)
T T T F
T F F T
F T F T
F F F T
Solusi untuk Latihan 19
Latihan 3 (b)
Tabel kebenaran untuk proposisi (Â ¬ A) ^ B adalah diberikan di bawah ini.
Dalam tabel kebenaran yang berdekatan
kolom ketiga berisi
â € œnegationâ € dari yang diberikan
proposisi A dan yang terakhir
kolom mewakili â € nya œconjunctionâ €
dengan proposisi
B.
Sebuah  ¬ B A ( ¬ A) ^ B
T T F F
T F F F
F T T T
F F T F
Solusi untuk Latihan 20
Latihan 3 (c)
Tabel kebenaran untuk proposisi (Â ¬ A) ^ (Â ¬ B) diberikan di bawah ini.
Dalam tabel kebenaran ketiga
dan kolom keempat berisi
â € œnegationâ € dari
proposisi A dan B masing-masing,
kolom terakhir
adalah â € œconjunctionâ € dari  ¬ A
 ¬ dan B.
Sebuah B Â ¬ Â ¬ A B (Â ¬ A) ^ (Â ¬ B)
T T F F F
T F F T F
F T T F F
F F T T T
Solusi untuk Latihan 21
Latihan 3 (d)
Tabel kebenaran untuk proposisi (Â ¬ A) _ (Â ¬ B) di bawah.
Dalam tabel ini kebenaran
ketiga dan keempat kolom
mengandung â € œnegationâ € dari
proposisi A dan B masing-masing,
sementara yang terakhir
kolom â € œdisjunctionâ €
dari A dan ¬ Â ¬ Â B.
Sebuah B Â ¬ Â ¬ A B (Â ¬ A) _ (Â ¬ B)
T T F F F
T F F T T
F T T F T
F F T T T
Solusi untuk Latihan 22
Latihan 4 (a)
Tabel kebenaran untuk proposisi A ^ (B _ C) di bawah.
Dalam tabel yang berdekatan,
pertama tiga kolom berisi
semua 8 kemungkinan nilai untuk
proposisi A, B dan C.
Kolom keempat menunjukkan
â € œdisjunctionâ € dari B dan
C, sedangkan yang terakhir adalah
A ^ (B _ C).
A B C B C A _ ^ (B _ C)
T T T T T
T T F T T
F T T T T
T F F F F
F T T T F
F T F T F
F F T T F
F F F F F
Solusi untuk Latihan 23
Latihan 4 (b)
Tabel kebenaran untuk proposisi (A ^ B) _ C adalah di bawah ini.
Tiga kolom pertama
berisi semua nilai yang mungkin
untuk proposisi A, B, dan
C. Kolom keempat
menunjukkan â € œconjunctionâ €
A dan B, sedangkan yang terakhir
satu adalah (A ^ B) _ C.
A B C A ^ B (A ^ B) _ C
T T T T T
T T F T T
T F T F T
T F F F F
F T T F T
F T F F F
F F T F T
F F F F F
Solusi untuk Latihan 24
Latihan 4 (c)
Tabel kebenaran untuk proposisi (A ^ B) _ (A ^ C) di bawah.
Keempat dan
kelima kolom
menunjukkan â € œconjunctionâ €
A
dan B, dan A
dan C, masing-masing.
final
kolom adalah
â € œdisjunctionâ € dari
tersebut.
A B C A ^ B A ^ C (A ^ B) _ (A ^ B)
T T T T T T
T T T F F T
T F F T T T
T F F F F F
F T T F F F
F T F F F F
F F T F F F
F F F F F F
Solusi untuk Latihan 25
Latihan 5 (a) tabel kebenaran untuk A_ (B ^ C) dan (A_B) ^ (A_C)
diberikan di bawah ini.
A B C A _ (B ^ C)
T T T T
T T F T
F T T T
T F F T
F T T T
F T F F
F F T F
F F F F
A B C (A _ B) ^ (A _ C)
T T T T
T T F T
F T T T
T F F T
F T T T
F T F F
F F T F
F F F F
Membandingkan mereka menunjukkan bahwa
Sebuah _ (B ^ C) = (A _ B) ^ (A _ C).
Solusi untuk Latihan 26
Latihan 5 (b)
Tabel kebenaran untuk (A _ B) diberikan di bawah ini.
A B A B A _ ^ (A _ B)
T T T T
F T T T
F T T F
F F F F
Membandingkan pertama dan kolom terakhir di atas menunjukkan bahwa
A ^ (A _ B) = A.
Solusi untuk Latihan 27
Latihan 5 (c)
Tabel kebenaran untuk ¬  (A _ B) dan  ¬ (A) ^  ¬ (B) diberikan di bawah ini.
Sebuah B ¬ Â (A _ B)
T T F
T F F
F T F
F F T
A B (Â ¬ A) ^ (Â ¬ B)
T T F
T F F
F T F
F F T
Tabel kebenaran proposisi-proposisi ini identik sehingga secara logis setara,
yakni
 ¬ (A _ B) =  ¬ (A) ^  ¬ (B).
Solusi untuk Latihan 28
Latihan 5 (d)
Untuk X proposisi sewenang-wenang, â € œdisjunctionâ € X dan â € œfalseâ €
(yaitu F proposisi) memiliki tabel kebenaran berikut.
F X F _ X
F T T
F F F
Oleh karena relasi
F _ X = X
adalah benar.
Solusi untuk Latihan 29
Latihan 5 (e)
Untuk setiap dua proposisi A dan B, membangun tabel kebenaran berikut:
AB (Â ¬ A) BA _ ^ ((Â ¬ A) _ B) [A ^ ((Â ¬ A) _ B)] _ B
T T T T T
T F F F F
F T T F T
F F T F F
Membandingkan kolom terakhir dengan kedua kita menemukan bahwa
[A ^ ((Â ¬ A) _ B)] _ B = B.
Solusi untuk Kuis 30
Solusi untuk Kuis
Solusi untuk Quiz:
Tabel kebenaran dari latihan 3 (a) dan olahraga 3 (d), masing-masing,
A, B ¬ (A ^ B)
T T F
T F T
F T T
F F T
A B (¬ A) _ (¬ B)
T T F
T F T
F T T
F F T
Karena ini adalah identik, maka yang
¬ (A ^ B) = (¬ A) _ (¬ B).
Kuis akhir
Solusi untuk Kuis 31
Solusi untuk Quiz:
Tabel kebenaran di bawah ini dari latihan 4 (a) dan olahraga 4 (c), masing-masing.
A B C A ^ (B _ C)
T T T T
T T F T
F T T T
T F F F
F T T F
F T F F
F F T F
F F F F
A B C (A ^ B) _ (A ^ B)
T T T T
T T F T
F T T T
T F F F
F T T F
F T F F
F F T F
F F F F
Dari ini, dapat dilihat bahwa
A ^ (B _ C) = (A ^ B) _ (A ^ C).
Kuis akhir